Чему равна сумма внешних углов многоугольника

Сумма внешних углов многоугольника - важная геометрическая характеристика, которая имеет постоянное значение для любых выпуклых многоугольников независимо от количества сторон.

Основная теорема о сумме внешних углов

Для любого выпуклого n-угольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Математическое выражение

Σ внешних углов = 360°

где Σ - знак суммы, n - количество сторон (углов) многоугольника

Доказательство теоремы

1. В каждой вершине многоугольника внешний и внутренний углы смежные
2. Сумма смежных углов равна 180°: α + β = 180°
3. Сумма внутренних углов n-угольника: Σα = (n - 2) × 180°
4. Сумма всех смежных пар: Σ(α + β) = n × 180°
5. Вычитая из этого сумму внутренних углов, получаем: Σβ = n × 180° - (n - 2) × 180° = 360°

Примеры для различных многоугольников

Особые случаи

Для невыпуклых многоугольников

Теорема также верна для невыпуклых многоугольников, если внешние углы измеряются с учетом знака (положительные при повороте против часовой стрелки).

Для звездчатых многоугольников

Сумма внешних углов звездчатых многоугольников может отличаться от 360° и зависит от конкретной конфигурации.

Практическое применение

• В архитектуре при проектировании зданий
• В компьютерной графике при моделировании объектов
• В навигации и геодезии
• При решении геометрических задач на доказательство

Связь с суммой внутренних углов

Зная сумму внешних углов (360°), можно вычислить сумму внутренних углов: Σ внутренних углов = 180° × n - 360° = 180° × (n - 2)

Таким образом, сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда постоянна и равна 360°, что делает это свойство универсальным для всех правильных и неправильных выпуклых многоугольников.